Singular Value Decomposition

library(BGLR)
data(mice)
W <- mice.X[1:7, 1:3]

UDV <- svd(W)

# left singular vectors
dim(UDV$u)
UDV$u

# singular values
length(UDV$d)
UDV$d

# right singular vectors
dim(UDV$v)
UDV$v

# Reconstruct W
W2 <- UDV$u %*% diag(UDV$d) %*% t(UDV$v)
W
W2
all.equal(c(W), c(W2), tol = 1e-04)

t(UDV$u) %*% UDV$u  # U'U
t(UDV$v) %*% UDV$v  # V'V
UDV$v %*% t(UDV$v)  # VV'
UDV$u %*% t(UDV$u)  # UU'

t(UDV$v)  # V'
solve(UDV$v)  # V^{-1}

solve(t(UDV$v))  # V'^{-1}
UDV$v  # V

# Phenotype
y <- mice.pheno$Obesity.BMI[1:7]

# Standard OLS
solve(t(W) %*% W) %*% t(W) %*% y

# SVD-based OLS
UDV$v %*% solve(diag(UDV$d)) %*% t(UDV$u) %*% y